Nepārtraukti saliktie procenti

Saliktie procenti ir procenti, kas aprēķināti par sākotnējo pamatsummu, kā arī no iepriekšējo noguldījuma vai aizdevuma periodu uzkrātajiem procentiem. Salikto procentu ietekme ir atkarīga no biežuma.

Pieņemsim, ka gada procentu likme ir 12%. Ja mēs sākam gadu ar 100 USD un saliktu tikai vienu reizi, tad gada beigās pamatsumma palielinās līdz USD 112 (100 USD x 1, 12 = 112 USD). Ja tā vietā mēs katru mēnesi aprēķinām 1% likmi, gada beigās mēs iegūstam vairāk nekā USD 112. Tas ir, USD 100 x 1, 01 ^ 12 USD 112, 68 vērtībā. (Tas ir augstāks, jo mēs sastāvam biežāk.)

Nepārtraukti salikts atdod savienojumu visbiežāk no visiem. Nepārtraukta savienošana ir matemātiskā robeža, kuru var sasniegt saliktā interese. Tas ir galējs salikšanas gadījums, jo lielāko daļu procentu veido mēneša, ceturkšņa vai pusgada pārskats.

Pusgada ienesīguma likmes

Vispirms apskatīsim potenciāli neskaidru konvenciju. Obligāciju tirgū mēs atsaucamies uz obligāciju ekvivalento ienesīgumu (vai obligāciju ekvivalentu bāzi). Tas nozīmē, ka, ja obligācijas peļņas likme ir 6% uz pusgadu, tad obligācijas ekvivalentais ienesīgums ir 12%.

Attēla autore Džūlija Banga © Investopedia 2019

Pusgada ienesīgums tiek vienkārši divkāršots. Tas var radīt neskaidrības, jo 12% obligācijai ekvivalenta ienesīguma obligācijas faktiskā peļņa ir 12, 36% (ti, 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Pusgada ienesīguma divkāršošana ir tikai obligāciju nosaukšanas konvencija. Tāpēc, ja mēs lasām par 8% obligāciju, kas sastāv no pusgada, mēs pieņemam, ka tas attiecas uz 4% pusgada ienesīgumu.

Ceturkšņa, mēneša un dienas ienesīguma likmes

Tagad apspriedīsim augstākas frekvences. Mēs joprojām pieņemam, ka gada procentu likme ir 12%. Saskaņā ar obligāciju nosaukšanas konvencijām tas nozīmē 6% salikto likmi pusgadā. Tagad mēs varam izteikt ceturkšņa salikto likmi kā tirgus procentu likmes funkciju.

Attēla autore Džūlija Banga © Investopedia 2019

Ņemot vērā gada tirgus likmi ( r), ceturkšņa salikto likmi ( r _q) aprēķina pēc:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & r_q = 4 \ pa kreisi \\ \ beigas {izlīdzināts}$ Rq = 4

Tātad mūsu piemērā, kur gada tirgus likme ir 12%, ceturkšņa saliktā likme ir 11, 825%:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & r_q = 4 \ pa kreisi \ cong 11.825 \% \\ \ beigas {izlīdzināts}$ Rq = 4≅11, 825%

Attēla autore Džūlija Banga © Investopedia 2019

Līdzīga loģika attiecas uz ikmēneša salikšanu. Mēneša saliktā likme ( r _m ) šeit norādīta kā tirgus gada procentu likmes ( r) funkcija:

Dienas salikto likmi ( d) kā tirgus procentu likmes ( r) funkciju aprēķina:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ sākt {saskaņots} r_d & = 360 \ pa kreisi \\ & = 360 \ pa kreisi \\ & \ cong 11, 66 \% \\ \ beigas {saskaņots}$ rd = 360 = 360≅11, 66%

Kā darbojas nepārtraukts savienojums

Attēla autore Džūlija Banga © Investopedia 2019

Ja mēs palielinām savienojuma biežumu līdz tā robežai, mēs nepārtraukti savienojamies. Lai arī tas var nebūt praktiski, nepārtraukti kombinētā procentu likme piedāvā brīnišķīgi ērtus īpašumus. Izrādās, ka nepārtraukti kombinēto procentu likmi piešķir:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} r_{c o n t i n u o u s} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ sākt {saskaņots} un r_ {nepārtraukts} = \ ln (1 + r) \ \ beigas {izlīdzināts}$ Nepārtraukts = ln (1 + r)

Ln () ir dabiskais žurnāls, un tāpēc mūsu piemērā nepārtraukti saliktā likme ir šāda:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} r_{c o n t i n u o u s} = \ln (1 + 0.12) = \ln (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ sākt {saskaņots} un r_ {nepārtraukts} = \ ln (1 + 0, 12) = \ ln (1, 12) cong 11, 33 \% \\ \ beigas {saskaņots}$ Nepārtraukts = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) ≅11, 33%

Mēs nokļūstam tajā pašā vietā, ņemot šīs attiecības dabisko žurnālu: beigu vērtību dalot ar sākuma vērtību.

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} r_{c o n t i n u o u s} = \ln (\frac{{Vērtība}_{Beigas}}{{Vērtība}_{Sākt}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ sākt {izlīdzināt} un r_ {nepārtraukti} = \ ln \ pa kreisi ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ pa kreisi ( frac {112} {100} pa labi) cong 11.33 \% \\ \ beigas {saskaņots}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅11, 33%

Pēdējais ir izplatīts, aprēķinot nepārtraukti kombinēto krājuma ienesīgumu. Piemēram, ja krājums palielinās no 10 ASV dolāriem vienā dienā līdz 11 ASV dolāriem nākamajā dienā, nepārtraukto dienas ienesīgumu iegūst:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} r_{c o n t i n u o u s} = \ln (\frac{{Vērtība}_{Beigas}}{{Vērtība}_{Sākt}}) = \ln (\frac{USD 11}{USD 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & r_ {nepārtraukts} = \ ln \ pa kreisi ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ pa kreisi ( frac { $ 11} { $ 10} pa labi) cong 9.53 \% \\ \ beigas {saskaņots}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (10 USD 11 USD) ≅9, 53%

Kas ir tik lieliski par nepārtraukti kombinēto likmi (vai atdevi), ko mēs apzīmēsim ar r _c ? Pirmkārt, to ir viegli mainīt. Ņemot vērā (P) pamatsummu, mūsu galīgo bagātību (n) gadu laikā piešķir:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} w = Lpp e^{r_{c} n} \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ beigas {izlīdzināts}$ W = Perc n

Ņemiet vērā, ka e ir eksponenciālā funkcija. Piemēram, ja mēs sākam ar 100 USD un nepārtraukti saliekam 8% trīs gadu laikā, tad galīgo bagātību piešķir:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} w = USD 100 e^{(0.08) (3)} = USD 127.12 \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & w = \ $ 100e ^ {(0, 08) (3)} = \ $ 127, 12 \\ \ beigas {saskaņots}$ W = 100e USD (0, 08) (3) = 127, 12 USD

Diskontēšana līdz pašreizējai vērtībai (PV) ir tikai salikšana apgriezti , tāpēc nākotnes vērtības (F) pašreizējo vērtību, kas nepārtraukti apvienota ar likmi ( r _c), aprēķina šādi:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} F saņemtā PV PV (n) gados = \frac{F}{e^{r_{c} n}} = F e^{- r_{c} n} \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & \ teksts {F no F saņemts (n) gados} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ beigas {saskaņots}$ F saņemtā PV PV (n) gados = erc nF = Fe − rc n

Piemēram, ja jūs saņemat USD 100 trīs gadu laikā ar nepārtrauktu likmi 6%, tā pašreizējo vērtību izsaka:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} PV = F e^{- r_{c} n} = (USD 100) e^{- (0.06) (3)} = USD 100 e^{- 0.18} ≅ USD 83.53 \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & \ teksts {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ $ 83.53 \\ \ beigas {saskaņots}$ PV = Fe − rc n = (100 USD) e− (0, 06) (3) = 100 ee − 0, 18 83 83, 53 USD

Mērogošana vairākos periodos

Nepārtraukti kombinētās atdeves ērtais īpašums ir tas, ka tā mērogojas vairākos periodos. Ja pirmā perioda ienesīgums ir 4%, bet otrā perioda ienesīgums ir 3%, tad divu periodu ienesīgums ir 7%. Ņemiet vērā, ka mēs sākam gadu ar 100 USD, kas pirmā gada beigās pieaug līdz USD 120, bet otrā gada beigās - par USD 150. Nepārtraukti kombinētā peļņa ir attiecīgi 18, 23% un 22, 31%.

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ sākt {saskaņots} un \ ln \ pa kreisi ( frac {120} {100} pa labi) cong 18, 23 \% \\ \ beigas {saskaņots}$ Ln (100120) ≅18, 23%

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ sākt {saskaņots} un \ ln \ pa kreisi ( frac {150} {120} pa labi) cong 22.31 \% \\ \ beigas {saskaņots}$ Ln (120150) ≅22, 31%

Ja mēs tos vienkārši pievienojam, mēs iegūstam 40, 55%. Šī ir divu periodu peļņa:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ sākt {saskaņots} un \ ln \ pa kreisi ( frac {150} {100} pa labi) cong 40, 55 \% \\ \ beigas {saskaņots}$ Ln (100150) ≅40, 55%

Tehniski runājot, nepārtraukta atgriešanās ir konsekventa laikā. Laika konsekvence ir riska vērtības (VAR) tehniska prasība. Tas nozīmē, ka, ja viena perioda atgriešanās ir normāli sadalīts nejaušs mainīgais, mēs vēlamies, lai normāli tiktu sadalīti arī vairāku periodu nejauši mainīgie. Turklāt parasti tiek sadalīta vairāku periodu nepārtraukta peļņa (atšķirībā no, teiksim, vienkāršas procentuālās atdeves).

Grunts līnija

Gada procentu likmes mēs varam pārveidot pusgada, ceturkšņa, mēneša vai dienas procentu likmēs (vai atdeves likmēs). Visizplatītākā savienošana ir nepārtraukta savienošana, kas prasa izmantot dabisko žurnālu un eksponenciālo funkciju, ko parasti izmanto finansēs vēlamo īpašību dēļ - tā viegli mērogojas vairākos periodos un ir laika ziņā konsekventa.

Satura rādītājs:

Pusgada ienesīguma likmes

Ceturkšņa, mēneša un dienas ienesīguma likmes

Kā darbojas nepārtraukts savienojums

Mērogošana vairākos periodos

Grunts līnija

Izvēle redaktors