Izpratne par binomālā opcijas cenu modeli

Akciju cenu noteikšana

Vienoties par precīzu jebkura tirgojamā aktīva cenu noteikšanu ir izaicinājums - tāpēc akciju cenas pastāvīgi mainās. Patiesībā uzņēmumi gandrīz nemaina savus vērtējumus katru dienu, bet to akciju cenas un vērtējumi mainās gandrīz katru sekundi. Šīs grūtības panākt vienprātību par visu tirgojamo aktīvu pareizu cenu noteikšanu rada īslaicīgas arbitrāžas iespējas.

Bet daudz veiksmīgu ieguldījumu ir saistīts ar vienkāršu mūsdienu vērtēšanas jautājumu - kāda ir pareizā pašreizējā cena šodien gaidāmajai izmaksai nākotnē?

Binominālo iespēju novērtēšana

Konkurences tirgū, lai izvairītos no arbitrāžas iespējām, aktīviem ar identisku izmaksu struktūru jābūt vienādai cenai. Iespēju novērtēšana ir bijis grūts uzdevums, un cenu atšķirības rada arbitrāžas iespējas. Black-Scholes joprojām ir viens no populārākajiem modeļiem, ko izmanto cenu noteikšanas iespējām, taču tam ir ierobežojumi.

Binomālo iespēju cenu noteikšanas modelis ir vēl viena populāra metode, ko izmanto cenu noteikšanas iespējām.

Piemēri

Pieņemsim, ka konkrētam akcijai ir pirkšanas iespēja ar pašreizējo tirgus cenu 100 USD. Naudas izmaksas (bankomāta) iespējas cena ir 100 ASV dolāru ar laiku līdz viena gada termiņam. Ir divi tirgotāji, Pēteris un Paula, kuri abi ir vienisprātis, ka akciju cena vienā gadā palielināsies līdz 110 USD vai pazemināsies līdz 90 USD.

Viņi vienojas par paredzamajiem cenu līmeņiem noteiktā viena gada laikā, bet nepiekrīt augšup vai lejup pacelšanās varbūtībai. Pīters uzskata, ka varbūtība, ka akciju cena sasniegs 110 USD, ir 60%, savukārt Paula uzskata, ka tā ir 40%.

Pamatojoties uz to, kurš būtu gatavs maksāt vairāk cenas par zvana iespēju? Iespējams, Pēteris, jo viņš sagaida lielu varbūtību, ka varētu pārcelties uz augšu.

Binominālo iespēju aprēķini

Divi aktīvi, no kuriem novērtēšana ir atkarīga, ir pirkšanas iespēja un pamatā esošie krājumi. Dalībnieki vienojas, ka pamatā esošā akciju cena var mainīties no pašreizējiem 100 USD uz 110 USD vai 90 USD vienā gadā, un citas cenu izmaiņas nav iespējamas.

Bez arbitrāžas pasaulē, ja jums ir jāizveido portfelis, kas sastāv no šiem diviem aktīviem, pirkšanas iespējas un bāzes akcijām, tā, ka neatkarīgi no tā, kur notiek bāzes cena - 110 USD vai 90 USD - portfeļa neto atdeve vienmēr paliek tāda pati. Pieņemsim, ka, lai izveidotu šo portfeli, jūs pērkat pamata un īstermiņa viena pirkuma iespēju "d" akcijas.

Ja cena sasniegs USD 110, jūsu akciju vērtība būs USD 110 * d, un, zaudējot īso zvanu, jūs zaudēsit 10 USD. Jūsu portfeļa neto vērtība būs (110d - 10).

Ja cena pazemināsies līdz USD 90, jūsu akciju vērtība būs USD 90 * d, un opcijas derīguma termiņš beigsies. Jūsu portfeļa neto vērtība būs (90d).

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ kur: \\ h = Augstākā iespējamā bāzes cena \\ d = Pakārtoto akciju skaits \\ m = Nauda, kas zaudēta, veicot īsu zvana izmaksu \\ l = Zemākā iespējamā bāzes cena \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {kur:} \ & h = \ teksts {Augstākā iespējamā bāzes cena} \ & d = \ teksts {Pakārtoto akciju skaits} \ & m = \ teksts {Nauda, kas zaudēta, veicot īsu zvana izmaksu} \ & l = \ teksts {Zemākā iespējamā bāzes cena} \ \ beigas {saskaņots}$ H (d) −m = l (d) kur: h = visaugstākā iespējamā bāzes cena = pakārtoto akciju skaits m = nauda, kas zaudēta, veicot īso sarunu izmaksu = zemākā iespējamā bāzes cena

Tātad, ja jūs pērkat pusi akcijas, pieņemot, ka ir iespējami dalīti pirkumi, jums izdosies izveidot portfeli tā, lai tā vērtība abos iespējamajos stāvokļos paliek nemainīga noteiktā viena gada laikā.

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ sākt {saskaņots} un 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ beigas {saskaņots}$ 110d – 10 = 90dd = 21

Šī portfeļa vērtība, kas apzīmēta ar (90d) vai (110d - 10) = 45, ir viens gads zem līnijas. Lai aprēķinātu tās pašreizējo vērtību, to var diskontēt ar bezriska atdeves likmi (pieņemot, ka 5%).

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} Dāvanas vērtība & = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 Gads)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ sākt {saskaņots} teksts {pašreizējā vērtība} & = 90d \ reizes e ^ {(-5 \% \ reizes 1 \ teksts {gads})} \ & = 45 \ reizes 0, 9523 \\ & = 42.85 \\ \ beigas {izlīdzinātas}$ Pašreizējā vērtība = 90d × e (−5% × 1 gads) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Tā kā šobrīd portfeli veido ½ pamata akciju daļa (ar tirgus cenu 100 USD) un viens īss zvans, tam jābūt vienādam ar pašreizējo vērtību.

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Zvana cena = USD 42.85 \\ Zvana cena = USD 7.14, ti, šodienas zvana cena \end{matrix} \ sākt {saskaņota} & \ frac {1} {2} reizes 100 - 1 \ reizes \ teksts {Zvana cena} = \ 422, 85 $ \\ & \ teksts {Zvana cena} = \ 7, 14 USD \ teksts {, ti, zvana cena no šodienas} \ \ beigas {saskaņots}$ 21 × 100−1 × Zvana cena = 42, 85 USDZvanīšanas cena = 7, 14 USD, ti, šodienas zvana cena

Tā kā tas balstās uz pieņēmumu, ka portfeļa vērtība paliek nemainīga neatkarīgi no tā, kādā virzienā iet bāzes cena, augšupvērstā vai lejupslīdes varbūtībai nav nozīmes. Portfelis paliek bez riska neatkarīgi no bāzes cenu izmaiņām.

Abos gadījumos (pieņemot, ka pieaugs līdz USD 110 un lejup būs USD 90), jūsu portfelis ir neitrāls pret risku un nopelna bezriska atdeves likmi.

Tāpēc abi tirgotāji, Pēteris un Paula, būtu gatavi maksāt to pašu 7, 14 USD par šo pirkšanas iespēju, neskatoties uz atšķirīgo izpratni par augšupcelšanās varbūtību (60% un 40%). Viņu individuāli uztvertajām varbūtībām opcijas vērtēšanā nav nozīmes.

Tā vietā, pieņemot, ka nozīme ir individuālajām varbūtībām, iespējams, parādījās arbitrāžas iespējas. Reālajā pasaulē šādas arbitrāžas iespējas pastāv ar nelielām cenu atšķirībām un īstermiņā izzūd.

Bet kur visos šajos aprēķinos ir ļoti izteiktā nepastāvība, kas ir svarīgs un jutīgs faktors, kas ietekmē iespēju cenu noteikšanu?

Nepastāvību jau iekļauj problēmas definīcijas raksturs. Pieņemot, ka cenu līmeņos ir divi (un tikai divi - tātad nosaukums “binomiāls”) (110 USD un 90 USD), nepastāvība ir netieša šajā pieņēmumā un tiek iekļauta automātiski (šajā piemērā 10% katrā ziņā).

Black-Scholes

Bet vai šī pieeja ir pareiza un saskan ar parasti izmantotajām Black-Scholes cenām? Opciju kalkulatora rezultāti (ar OIC atļauju) cieši sakrīt ar aprēķināto vērtību:

Diemžēl reālā pasaule nav tik vienkārša kā “tikai divas valstis”. Krājumi var sasniegt vairākus cenu līmeņus pirms laika beigām.

Vai ir iespējams iekļaut visus šos daudzos līmeņus binomālā cenu noteikšanas modelī, kas aprobežojas tikai ar diviem līmeņiem? Jā, tas ir ļoti iespējams, taču, lai to saprastu, nepieciešama vienkārša matemātika.

Vienkārša matemātika

Lai vispārinātu šo problēmu un risinājumu:

"X" ir pašreizējā akcijas tirgus cena, un "X * u" un "X * d" ir nākotnes cenas augšup un lejup virzībai "t" gadus vēlāk. Faktors "u" būs lielāks par vienu, jo tas norāda kustību uz augšu un "d" atradīsies starp nulli un vienu. Iepriekšminētajā piemērā u = 1, 1 un d = 0, 9.

Zvanīšanas iespējas izmaksas ir “P _up ” un “P _dn ” augšup un lejup vērstām kustībām derīguma termiņa beigās.

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} VUM = s \times X \times u - {Lpp}_{augšā} \\ kur: \\ VUM = Portfeļa vērtība augšupejas gadījumā \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & \ teksts {VUM} = s \ reizes X \ reizes u - P_ \ teksts {uz augšu} \ & \ textbf {kur:} \ & \ teksts {VUM} = \ teksts {Portfeļa vērtība pārvietošanās augšup} \ \ beigas {saskaņots}$ VUM = s × X × u – Pup, kur: VUM = portfeļa vērtība augšupcelšanās gadījumā

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - {Lpp}_{uz leju} \\ kur: \\ VDM = Portfeļa vērtība lejupslīdes gadījumā \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & \ teksts {VDM} = s \ reizes X \ reizes d - P_ \ teksts {uz leju} \ & \ textbf {kur:} \ & \ teksts {VDM} = \ teksts {Portfeļa vērtība pārvietošanās uz leju gadījumā} \ \ beigas {saskaņots}$ VDM = s × X × d – Pdown, kur: VDM = portfeļa vērtība lejupslīdes gadījumā

Par līdzīgu novērtēšanu abos cenu pārmaiņas gadījumos:

Visiem, kas noklusina, tacu $s \times X \times u - {Lpp}_{augšā} = s \times X \times d - {Lpp}_{uz leju} s \ reizes X \ reizes u - P_ \ teksts {uz augšu} = s \ reizes X \ reizes d - P_ \ teksts {uz leju}$ s × X × u – Pup = s × X × d – Pdown

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} s & = \frac{{Lpp}_{augšā} - {Lpp}_{uz leju}}{X \times (u - d)} \\ = Iegādājamo akciju skaits \\ bezriska portfelis \end{matrix} \ sākt {saskaņots} s & = \ frac {P_ \ teksts {uz augšu} - P_ \ teksts {uz leju}} {X \ reizes (u - d)} \ & = \ teksts {iegādājamo akciju skaits} \ & \ fantoms {=} teksts {bezriska portfelis} \ \ beigas {izlīdzināts}$ s = X × (u − d) Pup − Down - iegādājamo akciju skaits = bezriska portfelis

Portfeļa nākotnes vērtība "t" gadu beigās būs:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} Augšupcelšanās gadījumā & = s \times X \times u - {Lpp}_{augšā} \\ = \frac{{Lpp}_{augšā} - {Lpp}_{uz leju}}{u - d} \times u - {Lpp}_{augšā} \end{matrix} \ sākt {saskaņots} teksts {Pārvietot augšup} un = s \ reizes X \ reizes u - P_ \ teksts {augšup} \ & = \ frac {P_ \ teksts {augšup} - P_ \ teksts {uz leju} } {u - d} reizes u - P_ \ teksts {uz augšu} \ \ beigas {izlīdzināts}$ Augšupcelšanās gadījumā = s × X × u − kucēns = u − dPup − lejup × u − kucēns

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} Pārvietošanās uz leju gadījumā & = s \times X \times d - {Lpp}_{uz leju} \\ = \frac{{Lpp}_{augšā} - {Lpp}_{uz leju}}{u - d} \times d - {Lpp}_{uz leju} \end{matrix} \ sākt {saskaņots} teksts {Pārvietot uz leju} un = s \ reizes X \ reizes d - P_ \ teksts {uz leju} \ & = \ frac {P_ \ teksts {augšup} - P_ \ teksts {uz leju} } {u - d} reizes d - P_ \ teksts {uz leju} \ \ beigas {izlīdzināts}$ Pārvietošanās uz leju gadījumā = s × X × d − Lejup = u − dPup − Lejup × d − Lejup

Mūsdienu vērtību var iegūt, diskontējot to ar bezriska atdeves likmi:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} PV = e (- r t) \times \\ kur: \\ PV = Šodienas vērtība \\ r = Atdeves likme \\ t = Laiks, gados \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & \ teksts {PV} = e (-rt) reizes \ pa kreisi \\ & \ textbf {kur:} \ & \ teksts {PV} = \ teksts {pašreizējās dienas vērtība} \ & r = \ teksts {Atdeves likme} \ & t = \ teksts {Laiks, gados} \ \ beigas {izlīdzināts}$ PV = e (−rt) × kur: PV = pašreizējās dienas vērtības koeficients = atgriešanās koeficients = laiks, gados

Tam vajadzētu sakrist ar "s" akciju portfeļa turēšanu X cenā, un īstermiņa sarunu vērtībai "c" (šodienas turēšanai (s * X - c) vajadzētu būt pielīdzināmai šim aprēķinam.) Atrisinot "c", tas beidzot dod kā:

Piezīme: ja zvana piemaksa ir saīsināta, tai vajadzētu būt portfeļa papildinājumam, nevis atņemšanai.

Visiem, kas noklusina, tacu $c = \frac{e (- r t)}{u - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} reizes$ c = u − de (−rt) ×

Vēl viens veids, kā uzrakstīt vienādojumu, ir to pārkārtot:

Izmantojot "q" kā:

Visiem, kas noklusina, tacu $q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

Tad vienādojums kļūst:

Visiem, kas noklusina, tacu $c = e (- r t) \times (q \times {Lpp}_{augšā} + (1 - q) \times {Lpp}_{uz leju}) c = e (-rt) reizes (q \ reizes P_ \ teksts {uz augšu} + (1 - q) reizes P_ \ teksts {uz leju})$ c = e (−rt) × (q × kucēns + (1 − q) × samazinājums)

Vienādojuma pārkārtošana “q” izteiksmē piedāvā jaunu perspektīvu.

Tagad jūs varat interpretēt “q” kā pamatsummas pārvietošanās varbūtību (jo “q” ir saistīts ar P _up un “1-q” ir saistīts ar P _dn). Kopumā vienādojums atspoguļo šodienas opcijas cenu, tās izmaksas diskontēto vērtību termiņa beigās.

Šis "Q" ir atšķirīgs

Kā šī varbūtība “q” atšķiras no pamatsvara kustības varbūtības augšup vai lejup?

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} VSP = q \times X \times u + (1 - q) \times X \times d \\ kur: \\ VSP = Akcijas cenas vērtība laikā t \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & \ teksts {VSP} = q \ reizes X \ reizes u + (1 - q) reizes X \ reizes d \\ & \ textbf {kur:} \ & \ teksts {VSP} = \ teksts {Akcijas cenas vērtība laikā} t \\ \ beigas {saskaņots}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d kur: VSP = krājuma cenas vērtība laikā t

Aizstājot "q" vērtību un pārkārtojot, akciju cena laikā "t" ir šāda:

Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} Akciju cena = e (r t) \times X \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & \ teksts {akciju cena} = e (rt) reizes X \\ \ beigas {izlīdzināts}$ Akcijas cena = e (rt) × X

Šajā pieņemtajā divu valstu pasaulē akciju cena vienkārši palielinās par bezriska ienesīguma likmi, tieši tāpat kā bezriska aktīvs, un tādējādi tā paliek neatkarīga no jebkāda riska. Investori ir vienaldzīgi pret risku saskaņā ar šo modeli, tāpēc tas veido risku neitrālu modeli.

Varbūtība “q” un “(1-q)” ir zināma kā risku neitrāla varbūtība, un vērtēšanas metode ir zināma kā riska neitrāla vērtēšanas modele.

Piemēra scenārijam ir viena svarīga prasība - nākotnes izmaksas struktūra ir nepieciešama precīzi (līmenis 110 USD un 90 USD). Reālajā dzīvē šāda skaidrība par pakāpēm balstītu cenu līmeni nav iespējama; drīzāk cena mainās nejauši un var norēķināties vairākos līmeņos.

Lai paplašinātu piemēru tālāk, pieņemiet, ka ir iespējami divpakāpju cenu līmeņi. Mēs zinām otrā posma pēdējās izmaksas un mums šodien (sākotnējā posmā) ir jānovērtē opcija:

Atskatoties atpakaļ, pirmā pakāpiena starpposma novērtējumu (t = 1) var veikt, izmantojot galīgās izmaksas otrajā solī (t = 2), pēc tam izmantojot šo aprēķināto pirmā soļa vērtējumu (t = 1), šodienas novērtējumu (t = 0) var sasniegt ar šiem aprēķiniem.

Lai iegūtu opcijas cenu otrajā vietā, tiek izmantotas četras un piecas izmaksas. Lai iegūtu cenu par trešo numuru, tiek izmantotas piecas un sešas izmaksas. Visbeidzot, aprēķinātās izmaksas divos un trijos gadījumos tiek izmantotas, lai iegūtu cenu par pirmo numuru.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka šajā piemērā tiek pieņemts viens un tas pats faktors kustībām augšup (un lejup) abās darbībās - u un d tiek izmantotas sarežģītā veidā.

Darba piemērs

Pieņemsim, ka pārdošanas iespējas līgums, kura pārdošanas cena ir 110 USD, pašlaik tirgojas pie USD 100 un beidzas viena gada laikā. Gada bezriska likme ir 5%. Paredzams, ka cena pieaugs par 20% un samazināsies par 15% ik pēc sešiem mēnešiem.

Šeit u = 1, 2 un d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

izmantojot iepriekš iegūto formulu

Visiem, kas noklusina, tacu $q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

mēs iegūstam q = 0, 35802832

pārdošanas iespējas vērtība 2. punktā, Visiem, kas noklusina, tacu $\begin{matrix} {lpp}_{2} = e (- r t) \times (lpp \times {Lpp}_{augšā} + (1 - q) {Lpp}_{updn}) \\ kur: \\ lpp = Pārdošanas iespējas cena \end{matrix} \ sākt {saskaņots} & p_2 = e (-rt) reizes (p \ reizes P_ \ teksts {augšup} + (1 - q) P_ \ teksts {updn}) \ & \ textbf {kur:} \ & p = \ text {pārdošanas iespējas cena} \ \ beigas {saskaņots}$ P2 = e (−rt) × (p × kucēns + (1 − q) Pupdn) kur: p = pārdošanas opcijas cena

P _{augšupielādes} apstākļos pamatā esošā vērtība būs = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 ASV dolāri, kas novedīs pie P _{augšupcelšanas} = nulles

P _updn apstākļos bāzes vērtība būs = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD, kas noved pie P _updn = 8 USD

P _dndn apstākļos pamatā esošā vērtība būs = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD, kas noved pie P _dndn = 37, 75 USD.

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Līdzīgi, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

Visiem, kas noklusina, tacu ${lpp}_{1} = e (- r t) \times (q \times {lpp}_{2} + (1 - q) {lpp}_{3}) p_1 = e (-rt) reizes (q \ reizes p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Un tātad pārdošanas iespējas vērtība, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = 18, 29 USD.

Tāpat binomālie modeļi ļauj sadalīt visu opcijas ilgumu, lai vēl vairāk uzlabotu vairākus soļus un līmeņus. Izmantojot datorprogrammas vai izklājlapas, jūs varat atgriezties vienu soli vienlaicīgi, lai iegūtu vēlamās opcijas pašreizējo vērtību.

Vēl viens piemērs

Pieņemsim, ka Eiropas tipa pārdošanas iespējas termiņš ir deviņi mēneši, bāzes cena 12 USD un pašreizējā bāzes cena 10 USD. Pieņemiet bezriska likmi 5% par visiem periodiem. Pieņemsim, ka ik pēc trim mēnešiem bāzes cena var pārvietoties par 20% uz augšu vai uz leju, dodot mums u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 un trīspakāpju divdomīgo koku.

Sarkans norāda bāzes cenas, bet zils norāda pārdošanas iespēju apmaksu.

Riska neitrāla varbūtība "q" tiek aprēķināta līdz 0, 531446.

Izmantojot iepriekšminēto "q" vērtību un izmaksu vērtības t = deviņos mēnešos, atbilstošās vērtības t = sešos mēnešos aprēķina šādi:

Turklāt, izmantojot šīs aprēķinātās vērtības pie t = 6, vērtības t = 3, tad t = 0 ir:

Tas dod pārdošanas iespējas šodienas vērtību USD 2.18, kas ir diezgan tuvu tam, ko jūs varētu atrast veicot aprēķinus, izmantojot Black-Scholes modeli ($ 2, 30).

Grunts līnija

Kaut arī datorprogrammu izmantošana var padarīt šos intensīvos aprēķinus vieglus, nākotnes cenu prognozēšana joprojām ir būtisks binomiālo modeļu ierobežojums opciju cenu noteikšanā. Jo precīzāki laika intervāli, jo grūtāk ir precīzi paredzēt izmaksas katra perioda beigās.

Tomēr elastīgums, iekļaujot dažādos periodos gaidāmās izmaiņas, ir pluss, kas padara to piemērotu amerikāņu iespēju cenu noteikšanai, ieskaitot agrīnu novērtējumu.

Vērtības, kas aprēķinātas, izmantojot binomālo modeli, precīzi atbilst vērtībām, kas aprēķinātas no citiem parasti izmantotajiem modeļiem, piemēram, Black-Scholes, kas norāda binominālo modeļu lietderību un precizitāti opciju cenu noteikšanā. Binomu cenu noteikšanas modeļus var izstrādāt pēc tirgotāja vēlmēm, un tie var darboties kā alternatīva Black-Scholes.

Satura rādītājs: